參考從幾何向量空間到函數空間| 線代啟示錄。

1. 由 $\mathbb{R}^n$ 拓展到 $\mathbb{R}^{\infty}$ 所需俱備的條件是什麼？

由於一個向量 $\mathbb{v} \in \mathbb{R}^{\infty}$，在無限維度下我們需要考慮一個問題，就是 norm。

如果這個空間有定義 norm 的話，我們就要考慮他有沒有收斂，也就是 $||\mathbb{v}||^2$ 要存在。

所以條件就是

$$
||\mathbb{v}||^2 = \sum_{i=1}^{\infty} v_i^2
$$

要收斂。

2. 從 $\mathbb{R}^{\infty}$ 無限維度的向量空間再拓展到 $C^{\omega}$ 函數空間，所需要俱備的條件是什麼？

一個無限維度的向量是一個離散的版本，由剛剛的式子可以看的出來

$$
||\mathbb{v}||^2 = \sum_{i=1}^{\infty} v_i^2
$$

而一個（解析）函數則是連續的

$$
||f||^2 = \int f^2(x) dx
$$

除了以上的 norm 要收斂外，從離散到連續應該有些假設或是條件才是。

3. 函數的基底

Fourier series

$$
f(x) = a_0 + a_1 \cos x + b_1 \sin x + a_2 \cos 2x + b_2 \sin 2x + \cdots
$$

所以基底就是

$$
<\beta> = <1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \cdots>
$$

4. 非週期性函數基底

Legendre polynomial

5. Least square problem

$$
(A^TA)\hat{y} = A^Tb
$$

留言與分享

20th century Cantor:

All mathematical objects can be defined as sets.

Fundamentals:

• numbers
• permutations
• partitions
• matrices
• sets
• functions
• relations

Geometry:

• hexagons
• points
• lines
• triangles
• circles
• spheres
• polyhedra
• topological space
• manifolds

Algebra:

• groups
• rings
• fields
• lattices

留言與分享

$
\Omega \subset \mathbb{R}^2, f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^2
$

$$
f(x, y) = (u(x, y), v(x, y))
$$

$$
J(x, y) =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y} \\
\frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}
\end{bmatrix}
$$

$
(x, y) \in \Omega, J(x, y) = s(x, y)R(x, y)
$

$s$ is a non-zero scalar.

$R$ is a $2 \times 2$ rotation matrix.

$\mathcal{prop.}$

1. $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^2 \text{ and } g: f(\Omega) \rightarrow \mathbb{R}^2$ are conformal map, then $g \circ f$ is conformal map
2. $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^2$ is conformal map, $f^{-1}$ is conformal map

留言與分享

$\mathcal{Def.}$

$A$ 為保角映射（angle-preserving map）

$$
\frac{(Ax)^T(Ay)}{||Ax|| \cdot ||Ay||} = \frac{x^Ty}{||x|| \cdot ||y||} \\
(\Rightarrow A\text{ is invertible})
$$

$$
\Rightarrow A = sQ, Q^TQ = I, s \ne 0
$$

$s$ 代表伸縮量

$det Q = 1$: 伸縮 + 旋轉
$det Q = -1$: 伸縮 + 鏡射

留言與分享

let $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, f(x) = Ax$

$A$ 為保長映射（length-preserving map）或等距同構（isometry），以下為等價定義方式：

$\mathcal{Def}$.

1. $A$ is orthogonal matrix
2. $||Ax|| = ||x||$
3. $||Ax - Ay|| = ||x - y||$
4. $(Ax)^T(Ay) = x^Ty$

$\Rightarrow$ 旋轉

留言與分享

一般我們數學上稱 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 為函數 function。

然而，如果一個函數可以接受另一個函數作為他的輸入變數，而輸出是一個純量，$F: S \rightarrow \mathbb{R}$ 泛函 functional，其中 $S$ 是一個向量空間，函數是一種廣義的向量。

在最佳化理論或是機器學習當中最常遇到的就是損失函數 $\mathcal{L}$，他其實是一個泛函。

$$
\mathcal{L}[f] = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - f(x_i))^2
$$

當我們有不同的資料，需要計算這些資料的 mean square error 的時候就會寫成像上面這個樣子。

$$
\mathcal{L}[f] = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_b^a |f(x) - \sum_{i=1}^N a_i f_i(x)|^2 dx
$$

如果我們處理的不是資料，而是一段連續的空間，那我們就可以用以上這個連續的版本。

ex.

consider $X, Y \in V$

1. $g: X \rightarrow \mathbb{R}$ is functional
2. $g: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ is functional
3. $g: X \rightarrow Y$ is operator

留言與分享