$
\Omega \subset \mathbb{R}^2, f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^2
$

$$
f(x, y) = (u(x, y), v(x, y))
$$

$$
J(x, y) =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y} \\
\frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}
\end{bmatrix}
$$

$
(x, y) \in \Omega, J(x, y) = s(x, y)R(x, y)
$

$s$ is a non-zero scalar.

$R$ is a $2 \times 2$ rotation matrix.

$\mathcal{prop.}$

1. $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^2 \text{ and } g: f(\Omega) \rightarrow \mathbb{R}^2$ are conformal map, then $g \circ f$ is conformal map
2. $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^2$ is conformal map, $f^{-1}$ is conformal map

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$\mathcal{Def.}$

$A$ 為保角映射（angle-preserving map）

$$
\frac{(Ax)^T(Ay)}{||Ax|| \cdot ||Ay||} = \frac{x^Ty}{||x|| \cdot ||y||} \\
(\Rightarrow A\text{ is invertible})
$$

$$
\Rightarrow A = sQ, Q^TQ = I, s \ne 0
$$

$s$ 代表伸縮量

$det Q = 1$: 伸縮 + 旋轉
$det Q = -1$: 伸縮 + 鏡射

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let $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, f(x) = Ax$

$A$ 為保長映射（length-preserving map）或等距同構（isometry），以下為等價定義方式：

$\mathcal{Def}$.

1. $A$ is orthogonal matrix
2. $||Ax|| = ||x||$
3. $||Ax - Ay|| = ||x - y||$
4. $(Ax)^T(Ay) = x^Ty$

$\Rightarrow$ 旋轉

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一般我們數學上稱 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 為函數 function。

然而，如果一個函數可以接受另一個函數作為他的輸入變數，而輸出是一個純量，$F: S \rightarrow \mathbb{R}$ 泛函 functional，其中 $S$ 是一個向量空間，函數是一種廣義的向量。

在最佳化理論或是機器學習當中最常遇到的就是損失函數 $\mathcal{L}$，他其實是一個泛函。

$$
\mathcal{L}[f] = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - f(x_i))^2
$$

當我們有不同的資料，需要計算這些資料的 mean square error 的時候就會寫成像上面這個樣子。

$$
\mathcal{L}[f] = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_b^a |f(x) - \sum_{i=1}^N a_i f_i(x)|^2 dx
$$

如果我們處理的不是資料，而是一段連續的空間，那我們就可以用以上這個連續的版本。

ex.

consider $X, Y \in V$

1. $g: X \rightarrow \mathbb{R}$ is functional
2. $g: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ is functional
3. $g: X \rightarrow Y$ is operator

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	Clustering	Embedding
Target space	discrete	continuous
Target dimension	$d$	$\mathbb{R}^d$
Transformed result can be	composable	correlated
Assumption	globally static context (dataset)	globally dynamic context (dataset)

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