我們已經遇到一些無限集（infinite set），接下來會討論他的一些特性，然後會自然地討論到選擇公理（axiom of choice）。

Theorem

$A$ 是一個集合，以下的命題等價：

1. $\exists \enspace injective \enspace f: \mathbb{N} \rightarrow A$
2. $B \subset A, \exists \enspace bijective \enspace f: A \rightarrow B$
3. $A$ is infinite

前面有提到正整數可以用來作為有限集的原型，我們會把所有正整數的集合稱為 可數無限集（countably infinite sets）。

接下來我們會來討論幾個常見的概念，像是有限集及無限集、可數集及不可數集。

有限集（finite set）：

Def.

A set A is finite if

$$
\exists f: A \rightarrow \{ 1, …, n \}, f \enspace is \enspace bijective.
$$

這時我們會說 set $A$ 的 cardinality 是 n。

前面我們定義了集合的笛卡爾積，這邊我們來定義一個更廣義的，$\mathcal{A}$ 是一個非空集合（collection of sets）：

Def.

$$
A \enspace indexing \enspace function \enspace is \enspace a \enspace surjective \enspace function \enspace f: J \rightarrow \mathcal{A},
$$

$$
J \enspace is \enspace called \enspace index \enspace set.
$$

$$
The \enspace collection \enspace with \enspace the \enspace indexing \enspace function \enspace f \enspace is \enspace called \enspace indexed \enspace family \enspace of \enspace sets.
$$

以上我們談了一些 邏輯的基礎，接下來我們會談一些 數學的基礎，也就是整數與實數系統。其實我們已經用了很多，非正式地，接下來我們會正式地討論他們。

要 建構 實數系統的一個方法就是利用公理跟集合論來建構。

我們有比函數還要更有彈性、更一般化的概念，稱為 關係（relations） 。

我們會定義數學上的關係，並且談到在數學上大量使用的兩個關係：等價關係及次序關係。次序關係將會貫穿整個拓樸學領域。

關係（relations） 的定義如下：

Def.

$$
A \enspace relation \enspace on \enspace set \enspace A \enspace is
$$

$$
a \enspace subset \enspace C \subseteq A \times A
$$

Function 會是在數學上常常看到的概念，但他到底是什麼？Function 常常被視為兩個集合之間對映的規則。我們先來定義對映的規則（rule of assignment）：

Def.

$$
two \enspace sets \enspace C, D, r \subseteq C \times D, \forall c \in C , d \in D,
$$

$$
\exists \enspace at \enspace most \enspace one \enspace (c, d) \in r
$$

先以集合論開始切入，集合論是以後各門數學相關學科的根基，也就是很多數學的分支都會定義在集合論上。

在數學上，集合就是一群不重複的物件（object）或是元素（element）。像我們可以定義一個set A當中的elements有a、b、c，寫成：

$$
A = \{ a, b, c \}
$$

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