前面我們定義了集合的笛卡爾積，這邊我們來定義一個更廣義的，$\mathcal{A}$ 是一個非空集合（collection of sets）：

Def.

$$
A \enspace indexing \enspace function \enspace is \enspace a \enspace surjective \enspace function \enspace f: J \rightarrow \mathcal{A},
$$

$$
J \enspace is \enspace called \enspace index \enspace set.
$$

$$
The \enspace collection \enspace with \enspace the \enspace indexing \enspace function \enspace f \enspace is \enspace called \enspace indexed \enspace family \enspace of \enspace sets.
$$

所以如果有 $\alpha \in J$ ，我們會把 $f(\alpha)$ 寫成 $A_\alpha$。那麼 indexed family 本身可以寫成 $\{A_\alpha\}_{\alpha \in J}$。

這個概念有點類似在電腦科學中的 hash function/dictionary 或是指標的意味，有了一個函數可以對某個集合做 indexing。然而他必須是滿射的（surjective），而不是單射的（injective）。

應用這樣的概念來描述以往的概念就會有點不太一樣：

$f: J \rightarrow \mathcal{A} \enspace is \enspace an \enspace indexing \enspace function \enspace for \enspace \mathcal{A}$

$\bigcup_{\alpha \in J} A_\alpha = \{ x \mid at \enspace least \enspace one \enspace \alpha \in J, x \in A_\alpha \}$

$\bigcap_{\alpha \in J} A_\alpha = \{ x \mid for \enspace every \enspace \alpha \in J, x \in A_\alpha \}$

我們進一步定義m-元組（m-tuple）：

Def.

$$
m \in \mathbb{N}, a \enspace set \enspace X, m-tuple \enspace of \enspace elements \enspace of \enspace X \enspace is
$$

$$
x: \{1, …, m\} \rightarrow X
$$

這邊 $x$ 是個 m-tuple，我們通常描述 $x$ 的第 i 個值會寫成 $x_i$ ，也就是第 i 分量，也就是座標（coordinate）。那表示 $x$ 本身則會寫成：

$$
(x_1, …, x_m)
$$

接下來，我們讓 $\{ A_1, …, A_m \}$ 是一個 family of indexed sets。 $X = A_1 \cup A_2 \cup … \cup A_m$。我們定義這個 indexed family 的 cartesian product 為：

$$
\prod_{i = 1}^{m} A_i \enspace or \enspace A_1 \times A_2 \times … \times A_m
$$

也就是所有 m-tuple $(x_1, …, x_m)$ 的集合。

我們有了 m-tuple 就可以來定義一個常用的概念，$\omega-tuple$。

Def.

$$
A \enspace set \enspace X, \omega-tuple \enspace of \enspace elements \enspace of \enspace X \enspace is \enspace a \enspace function:
$$

$$
x: \mathbb{N} \rightarrow X
$$

這也是微積分當中的 數列（sequence），或是 無限數列（infinite sequence）。我們也可以把 $\omega$-tuple $x$ 看成座標，則會表示成：

$$
(x_1, x_2, …)
$$

而 cartesian product 則是：

$$
\prod_{i \in \mathbb{N}} A_i \enspace or \enspace A_1 \times A_2 \times …
$$

這邊大家可能會疑惑，不同的 $A_i$ 之間有什麼不一樣嗎？其實他們都可能是一樣的，跟 $X$ 一樣，只是去表示位在不同的分量上。如果是 $X$ 的元素的 $m$-tuple 的話，就可以簡寫成 $X^m$。如果是 $X$ 的元素的 $\omega$-tuple 的話，就可以簡寫成 $X^\omega$。

ex.

如果 $\mathbb{R}$ 代表實數，那麼 $\mathbb{R}^m$ 就代表所有實數的 $m$-tuple 的集合，也就是歐幾里得空間（Euclidean m-space）。那 $\mathbb{R}^\omega$ 就是無限維度歐氏空間（infinite-dimensional Euclidean space）。