Basis for topology
上一篇介紹完基本的拓樸結構，接下來我們來看基底（basis）的部份。
有上過線性代數的朋友們應該會知道，向量如果滿足線性獨立可以 span 到整個空間，而一個空間有他們的基底。
你可以把向量看成一種數學物件，空間的話就是很多這種數學物件的集合，那相對基底的話就是要擴展成整個空間的基本元素。
拓樸也是一樣的，開集（open set）也是一種數學物件，一個拓樸空間中所包含的元素就是開集，那麼就會很自然的想知道他的基底是什麼？
Def.
$X$ is a set, $\mathcal{T}$ is a topology on $X$, a basis for $\mathcal{T}$ is a collection $\mathcal{B}$ of subsets of $X$, basis elements are elements in $\mathcal{B}$, $\mathcal{B}$ must have the following properties:
- $\forall x \in X, \exists$ basis element $B \supseteq x$
- $B_1, B_2, B_3$ are basis elements, if $x \in B_1 \cap B_2$, $\exists B_3 \supseteq x$ and $B_3 \subseteq B_1 \cap B_2$
如果一個拓樸有滿足這兩個條件，那我們就可以說 拓樸 $\mathcal{T}$ 是由 $\mathcal{B}$ 生成的（generated）。
現在就來解釋一下上面的意思，我們應該不難理解，如果把拓樸看成一個空間的話，他是很多開集的集合，那麼基底 $\mathcal{B}$ 也會是集合的集合。在線性代數中，我們可以透過線性組合來把基底擴充到整個空間，那就表示那他應該是一組很基本的元素集合。這邊也有類似的概念，當一個基底可以擴充成一個拓樸的時候，那麼他就應該俱備以上兩種特性。
那麼線性代數可以用線性組合來 span 到整個空間。那麼拓樸的基底可以怎麼辦？我們可以用聯集（union）阿！
剛剛我們提到開集，我們都還沒定義開集呢！
Def.
A subset $U \subseteq X$ is open in $X$, if $\forall x \in U$, $\exists$ basis element $B \in \mathcal{B}$ s.t. $x \in B$ and $B \subseteq \mathcal{B}$
開集大概就像向量般的存在，而拓樸就是向量空間這樣子。依據這邊的定義，一個開集 $U$ 他裡面的元素 $x$ 都要在基底的元素當中（$x \in B$），然後基底元素是基底的子集（$B \subseteq \mathcal{B}$）。要記住，每個基底元素都 $\mathcal{T}$ 的元素。
舉個例子看看吧！
ex.
如果 $\mathcal{B}$ 是所有圓圈區域的基底，那麼他一定滿足上面兩個條件。
ex.
如果 $X$ 是一個集合，那麼所有只包含一個點的 $X$ 的子集合的集合，是 $X$ 的離散拓樸的基底
ex.
假設 $U_1$ 跟 $U_2$ 是拓樸 $\mathcal{T}$ 的元素，我們是不是可以證明 $U_1 \cap U_2 \in \mathcal{T}$？
假設有個 $x \in U_1 \cap U_2$，我們可以找到一個基底元素 $B_1$，$x \in B_1$，$B_1 \subseteq U_1$；我們可以找到另一個基底元素 $B_2$，$x \in B_2$，$B_2 \subseteq U_2$。
這樣從基底的第二的條件是不是可以推出有個 $B_3$，$x \in B_3$，$B_3 \subseteq B_1 \cap B_2$。
那麼從 $x \in B_3$ 跟 $B_3 \subseteq B_1 \cap B_2 \subseteq U_1 \cap U_2$，可以推出 $U_1 \cap U_2 \in \mathcal{T}$。
證明了 $U_1 \cap U_2 \in \mathcal{T}$，那麼我們大可以用數學歸納法證明 $\bigcup_{i=1}^{n} U_i \in \mathcal{T}$。
這樣我們也檢驗了由基底生成的開集的集合是一個拓樸。
我們也可以從另一個面向切入，描述他們之間的關係。
Lemma
$X$ is a set, $\mathcal{B}$ is a basis for topology $\mathcal{T}$,
$$
\mathcal{T} = \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B
$$
這個引理說明，一個拓樸 $\mathcal{T}$ 就等同於他的基底所有元素的聯集所成的集合。
有另一個引理從另一個面向切入：
Lemma
$X$ is a topological space, $\mathcal{C}$ is a collection of open sets of $X$ such that
$\forall$ open set $U \subseteq X, x \in U, \exists C \in \mathcal{C} s.t. x \in C \subseteq U$.
Then $\mathcal{C}$ is a basis for the topology of $X$.
這次是從開集的角度來切入的，如果有一個開集的集合 $\mathcal{C}$，這些開集是從 $X$ 這個拓樸空間來，那麼 $\mathcal{C}$ 當中的元素 $C$ 如果滿足 $x \in C \subseteq U$ 這個條件的話，那麼 $\mathcal{C}$ 就是拓樸空間 $X$ 的基底了。
如果有了基底之後就很有用，由基底生成的拓樸，我們可以藉由基底來判斷一些條件是否滿足：
Lemma
$\mathcal{B}$ and $\mathcal{B}^\prime$ are bases for the topology $\mathcal{T}$ and $\mathcal{T}^\prime$, respectively, on $X$. The following are equivalent:
- $\mathcal{T}^\prime$ is finer than $\mathcal{T}$
- for each $x \in X, x \in B \in \mathcal{B}, \exists B^\prime \in \mathcal{B}^\prime s.t. x \in B^\prime \subseteq B$
一個拓樸的細緻程度，我們可以從他的基底看出來，同樣包含 $x$ 的基底元素（$B$ 跟 $B^\prime$），比較細緻的拓樸的基底元素就會比較小（$B^\prime \subseteq B$）。
今天討論基底就到這邊拉！下次會介紹一些比較常見的拓樸。