Topology space and topology
我們終於來到拓樸學的大門口了！
（謎：前面走那麼多圈是在幹什麼的！
拓樸其實是幾何學的拓展，他往更基礎的方向去，當我們在探討幾何學的時候，其實我們研究的是空間關係。
空間關係裏面，我們研究大小、位置、角度、維度，再到比較高階的概念：面積或體積。
這邊需要一些線性代數的基礎進來，我們知道高階的概念是建立在較基礎的概念上，像是在有面積跟體積之前，要先定義長度，而長度則是由線性代數的範數（norm）給出，而角度的概念也是要先定義範數。
賦範空間（normed space）則是有定義範數的座標系。
空間中的位置與維度則是由座標系定義，而座標系則是我們先前定義的 m-tuple 的集合（所構成的空間）。
那麼最基礎的東西是什麼呢？
座標系中的 m-tuple，每個元素是由實數定義的。前面我們花時間討論了實數與整數。
在實數當中，我們之能知道兩個實數之間的關係，只能是大於、小於或等於三者其中之一。
但是當我們想討論空間中的 連續性，或是空間中的 鄰近 關係的時候，我們不知道到底什麼是連續？什麼是鄰近？
或許你可以說連續就是一個挨著一個，緊接著的元素或是數字，那這樣整數是連續的嗎？
數字 1 下一個是 2？
或是 1.0 的下一個是 1.000000000000000000000000000000001？
不對阿！那你把 1.0000000000000000000000000000000005 放到哪裡去了？
我們會認為實數是連續的，但整數不是，可是我們在整數中可以找到 下一個，可是實數當中不行。
所以 找不到下一個人的系統 就是連續？當然不是阿！我可以不要定義下一個人是誰就不會有下一個人阿！
所以拓樸學研究的就是空間上的連續跟鄰近關係。
我們會先討論 鄰近，或是 鄰居 的概念。
近代分析學的基礎是極限，微分跟積分都是根基於這個概念之上，而對於極限的探討跟嚴謹程度造就了拓樸學這個領域。在極限的概念之中，我們談的是逼近，在 $\epsilon - \delta$ 的證明當中，不難發覺他其實給了一個不定的範圍，可大可小，那逼近的程度就可以計算得出來了，而 鄰近 的概念正是可以在這邊發揮作用的。
一條直線，我們可以把他想成一條軟繩子，繩子上的任何一點，無論繩子怎麼扭曲，點鄰近的區域是不變的。不過這時候如果我們把繩子的兩頭相接起來那就不一樣了。
我們可以看上面這個圖，當繩子繞成一個圓的時候，相接的黑點的鄰近區域是黑點的左右兩塊。黑點剛好對應到線段的兩個端點，兩個端點的鄰近區域是上圖中紅色所顯示的。你可以看到繩子因為被接起來，所以改變了他的鄰近區域，而這個改變我們可以用一個函數來把他對映起來：
$$
f(x) = x \enspace mod \enspace 12
$$
你可以想像有類似時鐘的 12 個數字擺在圓的線上，而線段上也有 1~12 的數字，在時鐘上的 12 鄰近有 11 跟 1，但是在線段上的 12 的鄰近只有 11，上述的函數則是可以把線段對映到圓上。
$$
\begin{bmatrix}
\vdots \\
10 \\
11 \\
12 \\
13 \\
14 \\
\vdots
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
\vdots \\
10 \\
11 \\
0 \\
1 \\
2 \\
\vdots
\end{bmatrix}
$$
原本在空間上，線段是無法由一頭持續走向另一頭的，但是卻可以透過函數來把兩頭接起來，這樣鄰近的空間也改變了，這時候我們想要描述空間中的鄰近關係，我們透過集合論給出了以下的特性：
一個鄰近區域（neighborhood） $X$，$\forall x \in X$，我們說 $X$ 是 $x$ 的鄰近區域，他需要滿足：
- $x$ 在它自己的鄰近區域中
- 兩個 $x$ 的鄰近區域的交集仍然是 $x$ 的鄰近區域
- 若 $X$ 的子集包含了 $x$ 的鄰近區域，那麼他也是 $x$ 的鄰近區域
- $x$ 的鄰近區域的內部也是 $x$ 的鄰近區域
這些特性含蠻直觀的。$x$ 要在它自己的鄰近區域中，不滿足的話會導致很多運算都沒有封閉性。鄰近區域的交集仍是 $x$ 的鄰近區域也是很直觀的特性。最後兩條其實是有點相對的概念，第 3 條描述到一個比 $x$ 的鄰近區域大的，他也要是 $x$ 的鄰近區域，而第 4 條則是比 $x$ 的鄰近區域更小的，也要是 $x$ 的鄰近區域。
不過這樣的定義很複雜，不好用，所以後續引出了 拓樸（topology） 的定義，來代表鄰近區域：
Def.
A topology on a set $X$ is a collection $\mathcal{T}$ of subsets of $X$ having the following properties:
- $\emptyset, X \in \mathcal{T}$
- $\bigcup_{A \in \mathcal{T}} A \in \mathcal{T}$
- $\bigcap_{A_i \in \mathcal{T}} A_i \in \mathcal{T}$, $i$ is finite
來解釋一下，一個是需要定義在一個集合 $X$ 上的，而拓樸是 $X$ 的子集合的集合 $\mathcal{T}$。這個拓樸 $\mathcal{T}$ 需要滿足一些特性。空集合跟集合 $X$ 本身也在 $\mathcal{T}$ 中，這應該蠻直覺的，也就是集合 $X$ 是在自己的鄰近區域，有時候自己的鄰近區域沒有人也是很正常的。接著是，拓樸中的元素互相取聯集，仍然在這個拓樸中，也就是，鄰近區域的聯集仍然是鄰近區域。最後，拓樸中的元素互相取交集，仍然在這個拓樸中，也就是，鄰近區域的交集仍然是鄰近區域。不過要注意的是，聯集可以取無限聯集，但交集只能有限次數，主要是取無限次的交集很有可能都變成空集合，他就沒有意義，而且我們不知道無限次的交集到底是長什麼樣子。
這時候我們就會稱這個集合 $X$ 為 拓樸空間（topological space）。
更好的說法是，拓樸空間其實是集合跟拓樸的配對 $(X, \mathcal{T})$，所以他應該包含一個集合跟一個拓樸，但沒有異議的話，常常省略 $\mathcal{T}$ 不講。
這時候就需要來點例題幫助理解這個抽象概念。
ex.
$X = \{A, B, C\}$ 是一個 3 個元素的集合，以下哪些是一個佈於 $X$ 上的拓樸？
- $\mathcal{T} = \{\emptyset, X\}$ 是一個拓樸
- $\mathcal{T} = \{\emptyset, \{A\}, \{A, B\}, X\}$ 是一個拓樸
- $\mathcal{T} = \{\emptyset, \{B\}, \{A, B\}, \{B, C\}, X\}$ 是一個拓樸
- $\mathcal{T} = \{\emptyset, \{A\}, X\}$ 是一個拓樸
- $\mathcal{T} = \{\emptyset, \{A, B\}, \{C\}, X\}$ 是一個拓樸
- $\mathcal{T} = \{\emptyset, \{A\}, \{B\}, \{A, B\}, X\}$ 是一個拓樸
- $\mathcal{T} = \{\emptyset, \{A\}, \{B\}, X\}$ 不是一個拓樸
- $\{A\}, \{B\}$ 的聯集不在 $\mathcal{T}$ 中
- $\mathcal{T} = \{\emptyset, \{A, B\}, \{B, C\}, X\}$ 不是一個拓樸
- $\{A, B\}, \{B, C\}$ 的交集不在 $\mathcal{T}$ 中
接下來就來名詞解釋拉！
Def.
$X$ 是一個集合
- The collection of all subsets of $X$ (the power set of $X$, $\mathcal{P}(X)$) is called discrete topology（離散拓樸）
- $\{ \emptyset, X \}$ is called trivial topology or indiscrete topology
我們可以來比較看看這兩個拓樸：$\{\emptyset, X\}, \{\emptyset, \{A\}, \{A, B\}, X\}$（用上面例子的集合定義）。
兩者都是佈於 $X$ 的拓樸，那他們有什麼差別呢？我們可以這樣說：
Def.
$\mathcal{T}, \mathcal{T}’$ 是兩個佈於集合$X$ 的拓樸：
- If $\mathcal{T}’ \supseteq \mathcal{T}$, $\mathcal{T}’$ is finer（細緻） than $\mathcal{T}$.
- If $\mathcal{T}’ \subseteq \mathcal{T}$, $\mathcal{T}’$ is coarser（粗略） than $\mathcal{T}$.
引入了這樣的描述方式，我們一樣可以用集合中的 strictly（嚴格）finer or coarser 來描述他們。如果兩個拓樸可以用以上兩種關係來描述的話，我們就說他們是 comparable。
有的人會以 smaller, larger 或是 weaker, stronger 來描述，只是這樣沒有那麼的傳神。