我們已經遇到一些無限集（infinite set），接下來會討論他的一些特性，然後會自然地討論到選擇公理（axiom of choice）。

Theorem

$A$ 是一個集合，以下的命題等價：

  1. $\exists \enspace injective \enspace f: \mathbb{N} \rightarrow A$
  2. $B \subset A, \exists \enspace bijective \enspace f: A \rightarrow B$
  3. $A$ is infinite

直觀來說，第一點還蠻直覺的，因為 $\mathbb{N}$ 本身就是無限集，如果要滿足有單射函數存在的話，也就意味著 $A$ 至少跟 $\mathbb{N}$ 一樣大。第二點來說，一開始會覺得有點弔詭，怎麼有人跟自身的嚴格子集一樣大，也就是說，這樣的集合即便多一個或是少一個元素都無所謂，反正都是無限大，當然這是直觀上的推論，並非正式推導。

比較有趣的是要從第三點推導出第一點，證明邏輯是這樣的，因為 $A$ 本身不是有限集，那他就不會是空集合。我們的目標是要證明存在一個單射函數滿足第一點的條件，那我們可以從 $A$ 取一個元素 $a_1$ 他叫作 $f(1)$，那麼根據歸納法，我們可以跳到假設 $f(1), … , f(n-1)$ 都存在，我們來檢查一下 $A - \{f(1), … , f(n-1)\}$ 仍然不是空集合，那這樣我們就可以再拿出一個元素定義 $a_n = f(n)$，這樣我就根據歸納法造出了一個單射函數了。

證明圓滿結束！嗯？有問題？哪裡有問題？

如果我每次從 $A$ 當中取出來的元素，他有可能不是唯一的，不是唯一的有什麼樣的問題呢？不是唯一的，那就有可能會重複被選到，那這樣我們不能接受他是個好的歸納法。也就是，$f(n)$ 要相對 $f(1), … , f(n-1)$ 是唯一的。

要處理唯一的問題，我只要引進唯一就好了阿！像是我可以定義從 $A$ 中取元素的時候只取最小的。如果最小元素存在的話，$A$ 勢必要是有定義次序關係才行！但是純粹的集合是沒有的。

這時候我們引進選擇公理來幫我們解決這個問題：

Axiom of choice

給一個 collection $\mathcal{A}$ 是非空集合的集合，$\exists C \subseteq \bigcup_{A \in \mathcal{A}} A, \forall A \in \mathcal{A}, C \cap A$ contains only one element.

以上公理我解釋一下，也就是存在一個集合 $C$，他從 $\mathcal{A}$ 的每一個元素 $A$ 中都取一個元素進來。

接下來就會有以下的引理：

Lemma

給一個 collection $\mathcal{B}$ 是非空集合的集合，$\exists c: \mathcal{B} \rightarrow \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$ s.t. $\forall B \in \mathcal{B}, c(B) \in B.$

目前先寫到這邊，下面的解釋還有構造方法我還沒理解…嗚嗚。