Finite sets
接下來我們會來討論幾個常見的概念，像是有限集及無限集、可數集及不可數集。
有限集（finite set）：
Def.
A set A is finite if
$$
\exists f: A \rightarrow \{ 1, …, n \}, f \enspace is \enspace bijective.
$$
這時我們會說 set $A$ 的 cardinality 是 n。
在這其中，這個定義的結果是不是唯一的？也就是，有沒有一個可能存在一個集合，兩個人數當中的元素個數結果不一樣（一個數到 $m$，一個數到 $n$），但兩個人都是對的？在真實世界，你可能會覺得這根本不可能，但是為了這點，數學家做了一些基礎工作。
Lemma
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A \enspace is \enspace a \enspace set, n \in \mathbb{N}, a_0 \in A, \exists f: A \rightarrow \{ 1, … , n+1\}, f \enspace is \enspace bijective
$$
$$
\Leftrightarrow \exists g: A - \{ a_0 \} \rightarrow \{ 1, … , n\}, g \enspace is \enspace bijective
$$
也就是呢，當 $A$ 可以對映到 $n+1$ 個元素的集合的時候，把 $A$ 當中的一個元素拿掉，就必須對映到 $n$ 個元素的集合。
那接下來我們就可以有這個定理：
Theorem
$$
A \enspace is \enspace a \enspace set, f: A \rightarrow \{ 1, … , n\}, n \in \mathbb{N}, f \enspace is \enspace bijective, B \subset A
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$$
then \enspace \nexists g: B \rightarrow \{ 1, … , n\}, g \enspace is \enspace bijective
$$
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\exists h: B \rightarrow \{ 1, … , m\}, h \enspace is \enspace bijective, m < n
$$
所以是說，$B$ 是 $A$ 的嚴格子集，那麼 $B$ 的 cardinality 就必須跟 $A$ 的不同，並且要比較小。
以此，我們可以導出以下結論：
Corollary
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If \enspace A \enspace is \enspace finite, B \subset A, \nexists f: A \rightarrow B, f \enspace is \enspace bijective
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Corollary
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\mathbb{N} \enspace is \enspace not \enspace finite
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Corollary
$$
The \enspace cardinality \enspace of \enspace a \enspace finite \enspace set \enspace A \enspace is \enspace uniquely \enspace determined \enspace by \enspace A
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Corollary
$$
A \enspace is \enspace finite, B \subset A, B \enspace is \enspace finite
$$
有限集，以下等價：
Corollary
- $A$ is finite
- Exists a surjective function from a section of $\mathbb{N}$ to $A$
- Exists a injective function from $A$ to a section of $\mathbb{N}$
Corollary
$$
Finite \enspace unions \enspace and \enspace finite \enspace cartesian \enspace products \enspace of \enspace finite \enspace sets \enspace are \enspace finite
$$