以上我們談了一些 邏輯的基礎，接下來我們會談一些 數學的基礎，也就是整數與實數系統。其實我們已經用了很多，非正式地，接下來我們會正式地討論他們。

要 建構 實數系統的一個方法就是利用公理跟集合論來建構。

首先我們需要從集合論出發，定義在 set $A$ 上的 二元運算子（binary operator）：

Def.

$$
f: A \times A \rightarrow A
$$

我們在描述一個二元運算子的時候並不會如同以往的函數一樣， $f(a, a’)$，而是會把運算子寫在中間， $afa’$。一般來說，我們會用符號來表示，而不是字母，像是加號 $+$、乘號 $\cdot$。

假設

我們假設存在一個 set $\mathbb{R}$，代表實數，有兩個運算子分別是加法運算子 $+$、乘法運算子 $\cdot$，以及一個次序關係 $\lt$ 定義於 $\mathbb{R}$ 上，會有以下特性：

代數特性（Algebraic Properties）

  1. $(x + y) + z = x + (y + z), \forall x, y, z \in \mathbb{R}$

$(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z), \forall x, y, z \in \mathbb{R}$

  1. $x + y = y + x, \forall x, y, z \in \mathbb{R}$

$x \cdot y = y \cdot x, \forall x, y, z \in \mathbb{R}$

  1. $\exists! 0 \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, s.t. \enspace x + 0 = x$

$\exists! 1 \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, s.t. \enspace x \cdot 1 = x$

  1. $for \enspace each \enspace x, \exists! y, s.t. \enspace x + y = 0$

$for \enspace each \enspace x, \exists! y, s.t. \enspace x \cdot y = 1$

  1. $x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z), \forall x, y, z \in \mathbb{R}$

混合代數與次序特性（A Mixed Algebraic and Order Property）

  1. $If \enspace x \gt y, then \enspace x + z \gt y + z$

$If \enspace x \gt y, z \gt 0, then \enspace x \cdot z \gt y \cdot z$

次序特性（Order Properties）

  1. 次序關係 $\lt$ 有最小上界性
  2. $If \enspace x \lt y, then \enspace \exists z \enspace s.t. \enspace x \lt z, z \lt y$

由 1~5 點我們可以導出一些代數性質，像是負數、減法運算、倒數跟商的概念。我們可以定義正數（$x \gt 0$）跟負數（$x \lt 0$）。在代數領域，擁有 1~5 點特性的代數結構，我們會稱為域（field）。如果有包含第六點就稱為有序域（ordered field）。在拓樸領域我們通常會討論的是第7、8點，他只牽涉到次序關係，同時擁有這兩點的集合稱為線性連續統（linear continuum）。

說到這邊我們還沒提到整數呢！我們就用前6點來定義整數（integer）。

Def.

$A \subseteq \mathbb{R} \enspace is \enspace inductive:$

  1. $1 \in A$
  2. $\forall x \in A \enspace s.t. \enspace x + 1 \in A$

Def.

$\mathcal{A} \enspace is \enspace a \enspace collection \enspace of \enspace all \enspace inductive \enspace subsets \enspace of \enspace \mathbb{R}$
$positive \enspace integers \enspace is \enspace a \enspace set \enspace \mathbb{N} = \bigcap_{A \in \mathcal{A}} A$

這樣的定義是很巧妙的，他其實只有明確的定義了1是在這個集合裡，後面都以 $x+ 1$ 的形式去推演，這稱為可歸納。而正整數是眾多可歸納集合的交集，可見正整數是最小的子集。

正整數有些特性：

  1. 正整數是可歸納的（inductive）
  2. （Principle of inductive）如果 set $A$ 是可歸納的，而且含正整數的集合，那麼 $A = \mathbb{N}$

與實數不同的是，他不會有第八點特性，也就是，$for \enspace each \enspace n \in \mathbb{N}, \nexists a \in \mathbb{N} \enspace s.t. \enspace n \lt a \lt n + 1$。

如果有個正整數 $n$，我們用 $S_{n}$ 來代表所有小於 $n$ 的正整數的集合，我們稱他為 section：

$$
S_{n + 1} = \{1, \dots , n\}
$$

接下來我們會描述 證明 兩個可能不是很熟悉但很有用的特性，你可以看成是另一個版本的數學歸納法：

Theorem: Well-ordering property

$$
S \subseteq \mathbb{N}, S \neq \emptyset, S \enspace has \enspace smallest \enspace element.
$$

他描述了 $\mathbb{N}$ 的非空子集，一定有最小元素。

Theorem: Strong induction principle

$$
A \enspace is \enspace a \enspace set \enspace of \enspace positive \enspace integers,
$$

$$
for \enspace each \enspace n, S_n \subseteq A \enspace s.t. \enspace n \in A, then \enspace A = \mathbb{N}
$$

這邊描述了，對每個 $n$ 來說，由 $S_n \subseteq A$ 可以推出 $n \in A$ 的話，那麼 $A$ 就是 $\mathbb{N}$。

以上我們用了有序域中的第 1~6 點公理，那第 7 點呢？

你用會用到第 7 點（最小上界公理）來證明，正整數集合 $\mathbb{N}$ 在實數的集合 $\mathbb{R}$ 中是沒有上界的。

Theorom: Archimedean ordering property

$$
the \enspace set \enspace \mathbb{N} \enspace has \enspace no \enspace upper \enspace bound \enspace in \enspace \mathbb{R}.
$$