參考從幾何向量空間到函數空間| 線代啟示錄。

  1. 由 $\mathbb{R}^n$ 拓展到 $\mathbb{R}^{\infty}$ 所需俱備的條件是什麼？

由於一個向量 $\mathbb{v} \in \mathbb{R}^{\infty}$，在無限維度下我們需要考慮一個問題，就是 norm。

如果這個空間有定義 norm 的話，我們就要考慮他有沒有收斂，也就是 $||\mathbb{v}||^2$ 要存在。

所以條件就是

$$
||\mathbb{v}||^2 = \sum_{i=1}^{\infty} v_i^2
$$

要收斂。

  1. 從 $\mathbb{R}^{\infty}$ 無限維度的向量空間再拓展到 $C^{\omega}$ 函數空間，所需要俱備的條件是什麼？

一個無限維度的向量是一個離散的版本，由剛剛的式子可以看的出來

$$
||\mathbb{v}||^2 = \sum_{i=1}^{\infty} v_i^2
$$

而一個（解析）函數則是連續的

$$
||f||^2 = \int f^2(x) dx
$$

除了以上的 norm 要收斂外，從離散到連續應該有些假設或是條件才是。

  1. 函數的基底

Fourier series

$$
f(x) = a_0 + a_1 \cos x + b_1 \sin x + a_2 \cos 2x + b_2 \sin 2x + \cdots
$$

所以基底就是

$$
<\beta> = <1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \cdots>
$$

  1. 非週期性函數基底

Legendre polynomial

  1. Least square problem

$$
(A^TA)\hat{y} = A^Tb
$$