我們今天就來談談一些常見的拓樸。

首先是在實數線上的開區間（open interval）：

Def.

If $\mathcal{B}$ is the collection of all open intervals in the real line,

$$
(a, b) = \{ x \mid a < x < b \}
$$

這就是我們所熟知的開區間，由 $\mathcal{B}$ 所產生出來的拓樸稱之為 標準拓樸（standard topology），（所以在這邊 $\mathcal{B}$ 是一個基底）。我們一般在討論的實數域 $\mathbb{R}$ 就是由這樣的基底所衍生出來的，所以 $\mathbb{R}$ 也是一個拓樸，後續如果沒有特別提，我們就是這樣預設的。

如果 $\mathcal{B}^\prime$ 是半開區間的集合，

$$
[a, b) = \{ x \mid a \le x < b \}, a < b
$$

那麼由這樣的基底 $\mathcal{B}^\prime$ 所產生出來的拓樸為在 $\mathbb{R}$ 上的 lower limit topology，我們記為 $\mathbb{R}_l$。

我們還有，

Def.

$$
K = \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \}
$$

$\mathcal{B}^{\prime \prime}$ is the collection of all open intervals $(a, b)$, and with all sets of the form $(a, b) - K$

這邊我們定義了所有 $\frac{1}{n}$ 的集合為 $K$，$\mathcal{B}^{\prime \prime}$ 這個基底包含了所有 $(a, b)$ 以及 $(a, b) - K$ 這樣的元素。由這樣的基底產生出來的拓樸稱為在 $\mathbb{R}$ 上的 K-topology，記為 $\mathbb{R}_K$。

我們上面提到的集合都是基底，所以兩兩基底元素之間的交集，要不是另一個基底元素，不然就是空集合。

接下來我們來看看上面提到的拓樸之間的關係。

Lemma

The topology of $\mathbb{R}_l$ and $\mathbb{R}_K$ are strictly finer than standard topology on $\mathbb{R}$. The topology of $\mathbb{R}_l$ and $\mathbb{R}_K$ are not comparable with each other.

這時候你可能就會問了，因為拓樸可以由一個基底的任意元素聯集組成，那如果隨意取了一個集合的集合做為基底，在有限的交集以及任意的聯集下，會變成什麼？

這個問題就引領我們到子基底（subbasis）的概念上。

Def.

A subbasis $\mathcal{S}$ for a topology on $X$.

$$
\mathcal{S} = \{ x \mid x \subseteq X \}, \bigcup_{x \in \mathcal{S}} = X
$$

The topology generated by the subbasis $\mathcal{S}$ is the collection $\mathcal{T}$ of all unions of finite intersections of elements of $\mathcal{S}$.