前面有提到正整數可以用來作為有限集的原型,我們會把所有正整數的集合稱為 可數無限集(countably infinite sets)

Def.

A set A is infinite if not finite.

Def.

A set A is countably infinite if
f:AN,fisbijective.

ex.

像是整數本身就是 countably infinite,f:ZN

f(n)={2nn>0 2n+1n0

ex.

N×N 也是 countably infinite,那要如何證明呢?

我們需要證明 f:N×NN,由於 N×N 是在座標系的第1象限上的格子點,我們先把他向下圖一樣定一個順序,下圖的順序也包含 0,但是在我們的例子中不包含 0,但概念是一樣的。

我們希望像這樣把 N 一個一個擺到 N×N,這樣我們就可以確認兩者的對應關係了,那要怎麼做呢?

我們先定個函數 g(x,y)=(x+y1,y),這會把每串黑色箭頭都擺直。

接著可以用另一個函數 h(x,y)=12(x1)x+y 幫我們對映到數字。

對映關係會看起來像這樣:

(1,1)(1,1)1

(2,1)(2,1)2

(1,2)(2,2)3

(3,1)(3,1)4

(2,2)(3,2)5

如此對映起來之後,再證明這兩個函數的組合是雙射的,就可以證明 N×N 是 countably infinite。

所以我們就可以給可數下個定義:

Def.

A set A is countable if it is finite or countably infinite.

A set A is uncountable if it is not countable.

那如果我們每次都要證明一個集合是不是可數的就會比較麻煩,以下有些等價的敘述:

Theroem

A is a nonempty set.

  1. A is countable
  2. f:NA, f is surjective
  3. g:AN, g is injective

我們有其他定理:

Theroem

CN,Cisinfinite,thenCiscountablyinfinite.

跟其他結論:

Corollary

A subset of a countable set is countable.

Corollary

N×N is countably infinite.

Theroem

A countable union of countable sets is countable.

看到這邊大家不知道有沒有跟我一樣的疑問,為什麼會有 countable union 這樣的敘述呢?

如果有個集合 An 是可數的,fn is surjective,fn:NAn,我們可以選另一個函數 g is surjective,g:NJ,使得

h:N×NnJAn

所以我們把 countable union 看成在 nJJh 可以看成 fng 的合成函數 h(k,m)=fg(k)(m),如此一來,我們已經知道 surjective 函數的合成還是 surjective,而 N×N 也是 countable,這樣我們就可以證明 nJAn 是 countable。

Theroem

A finite product of countable sets is countable.

也就是說,A1×A2××An 是 countable。

Theroem

X={0,1},thenXωisuncountable.

這邊描述了一個特例,以下是比較廣義的敘述:

Theroem

A is a set,

injectivef:P(A)A

surjectiveg:AP(A)

這代表著一個集合的冪集是 uncountable set,無論集合裏面長什麼樣子。