Countable sets
前面有提到正整數可以用來作為有限集的原型,我們會把所有正整數的集合稱為 可數無限集(countably infinite sets)。
Def.
A set A is infinite if not finite.
Def.
A set A is countably infinite if
∃f:A→N,fisbijective.
ex.
像是整數本身就是 countably infinite,f:Z→N
f(n)={2nn>0 −2n+1n≤0
ex.
N×N 也是 countably infinite,那要如何證明呢?
我們需要證明 f:N×N→N,由於 N×N 是在座標系的第1象限上的格子點,我們先把他向下圖一樣定一個順序,下圖的順序也包含 0,但是在我們的例子中不包含 0,但概念是一樣的。
我們希望像這樣把 N 一個一個擺到 N×N,這樣我們就可以確認兩者的對應關係了,那要怎麼做呢?
我們先定個函數 g(x,y)=(x+y−1,y),這會把每串黑色箭頭都擺直。
接著可以用另一個函數 h(x,y)=12(x−1)x+y 幫我們對映到數字。
對映關係會看起來像這樣:
(1,1)→(1,1)→1
(2,1)→(2,1)→2
(1,2)→(2,2)→3
(3,1)→(3,1)→4
(2,2)→(3,2)→5
如此對映起來之後,再證明這兩個函數的組合是雙射的,就可以證明 N×N 是 countably infinite。
所以我們就可以給可數下個定義:
Def.
A set A is countable if it is finite or countably infinite.
A set A is uncountable if it is not countable.
那如果我們每次都要證明一個集合是不是可數的就會比較麻煩,以下有些等價的敘述:
Theroem
A is a nonempty set.
- A is countable
- ∃f:N→A, f is surjective
- ∃g:A→N, g is injective
我們有其他定理:
Theroem
C⊆N,Cisinfinite,thenCiscountablyinfinite.
跟其他結論:
Corollary
A subset of a countable set is countable.
Corollary
N×N is countably infinite.
Theroem
A countable union of countable sets is countable.
看到這邊大家不知道有沒有跟我一樣的疑問,為什麼會有 countable union 這樣的敘述呢?
如果有個集合 An 是可數的,fn is surjective,fn:N→An,我們可以選另一個函數 g is surjective,g:N→J,使得
h:N×N→⋃n∈JAn
所以我們把 countable union 看成在 n∈J 的 J,h 可以看成 fn 跟 g 的合成函數 h(k,m)=fg(k)(m),如此一來,我們已經知道 surjective 函數的合成還是 surjective,而 N×N 也是 countable,這樣我們就可以證明 ⋃n∈JAn 是 countable。
Theroem
A finite product of countable sets is countable.
也就是說,A1×A2×…×An 是 countable。
Theroem
X={0,1},thenXωisuncountable.
這邊描述了一個特例,以下是比較廣義的敘述:
Theroem
A is a set,
∄injectivef:P(A)→A
∄surjectiveg:A→P(A)
這代表著一個集合的冪集是 uncountable set,無論集合裏面長什麼樣子。