Functions
Function 會是在數學上常常看到的概念,但他到底是什麼?Function 常常被視為兩個集合之間對映的規則。我們先來定義對映的規則(rule of assignment):
Def.
twosetsC,D,r⊆C×D,∀c∈C,d∈D,
∃atmostone(c,d)∈r
所以如果當兩個對映關係(如下)有相同的第一分量 c,那他們其實是同一個對映關係,並且第二分量也會相同。
[(c,d)∈r,(c,d′)∈r]→[d=d′]
給定一個對映規則 r,定義域(domain) 也就是 C 的子集合,他包含了所有 r 中的第一分量。
Def.
domainr={c∣∃d∈Ds.t.(c,d)∈r}
相對,**值域(image)**是 D 的子集合,他包含了所有 r 中的第二分量。
Def.
imager={d∣∃c∈Cs.t.(c,d)∈r}
現在我們把所有需要的東西都定義好了,那函數(function) 的定義就會是一個對映規則,以及一個 set B 包含了 imager,稱為函數的 對應域(codomain) ,而函數的 domain A 也就是 domainr,函數的值域就是 imager ,我們會以下列表示法表示:
f:A→B
這表示他是一個從 A map 到 B 的函數。有時候我們會想像成在空間上的轉換,將 A 上的點對映到 B 上的點。我們會以 f(a) 來代表 f 在 a 點的值(value)。
我們可以在函數上定義限制(restriction):
Def.
A0istherestrictionoff
f:A→B,A0⊆As.t.f={(a,f(a))∣a∈A0}
我們可以藉由限制(restriction)來限制我們的函數形式。我們還有另外一個方法,合成函數(function composition):
Def.
g∘fisthecompositeoffunctionfandg
f:A→B,g:B→C,g∘f:A→C,(g∘f)(a)=g(f(a))
g∘f={(a,c)∣b∈B,f(a)=b,g(b)=c}
from Wikipedia
接著我們來討論一些不同的函數。
如果一個函數 f:A→B 是單射的(injective),或是一對一(one-to-one),那也就是說在 A 中,不同的點會對映到不同的 像(image) 的。
from Wikipedia
如果一個函數 f:A→B 是滿射的(surjective),或是映成(onto),那也就是說每個在 B 中的元素都有被對映到。
from Wikipedia
如果一個函數 f:A→B 是雙射的(bijective),那也就是說這個函數同時滿足 單射的(injective) 以及 滿射的(surjective)。
from Wikipedia
兩個 injective function 的 composite 是個 injective function。兩個 surjective function 的 composite 是個 surjective function。兩個 bijective function 的 composite 是個 bijective function。
那如果 function f 是 bijective,那麼他的 反函數(inverse) 存在,也就是:
f:A→B,fisbijective,∃f−1
s.t.f−1(b)=a,a∈A,b∈B
反函數有一個特性就是, f 的反函數為 f−1,而 f−1 本身也是雙射的,所以他的反函數也存在,他的反函數則是 f。
那如果要證明一個函數是 bijective 的話,那以下Lemma 會有幫助:
Lemma
f:A→B,∃g:B→A,∃h:B→A
s.t.∀a∈A,g(f(a))=a,∀b∈B,f(h(b))=b,
theng=h=f−1isbijective.
接下來,我們來討論一下 像(image):
Def.
f:A→B,A0⊆A,theimageofA0offis
f(A0)={b∣b=f(a)foratleastonea∈A0}
另一方面,我們可以討論像的 原像(preimage):
Def.
f:A→B,B0⊆B,f−1(B0)={a∣f(a)∈B0}
f−1(B0)isthepreimageofB0underf.
如果 f:A→B 是 bijective, B0⊆B,我們對 f−1(B0) 有兩種解釋,他可以是 preimage of B0 under f ,或者是 image of B0 under f−1:B→A。
在使用 f 及 f−1 上需要小心。如果是 f−1 應用在 B 的子集合上,他有很好的行為,他保留了包含、聯集、交集、差集的特性。我們應該要常用他。如果是 f 應用在 A 的子集合上,他只保留了包含及聯集的特性。
另一個需要小心的,以下兩個並不是總是為真:
f−1(f(A0))=A0
f(f−1(B0))=B0
結論是這樣的,如果 f:A→B,A0⊆A,B0⊆B,則以下成立:
A0⊆f−1(f(A0))
f(f−1(B0))⊆B0
第一條式子的等號成立的條件為 f 是 injective,第二條式子的等號成立的條件為 f 是 surjective。