Function 會是在數學上常常看到的概念,但他到底是什麼?Function 常常被視為兩個集合之間對映的規則。我們先來定義對映的規則(rule of assignment)

Def.

twosetsC,D,rC×D,cC,dD,

atmostone(c,d)r

所以如果當兩個對映關係(如下)有相同的第一分量 c,那他們其實是同一個對映關係,並且第二分量也會相同。

[(c,d)r,(c,d)r][d=d]

給定一個對映規則 r定義域(domain) 也就是 C 的子集合,他包含了所有 r 中的第一分量。

Def.

domainr={cdDs.t.(c,d)r}

相對,**值域(image)**是 D 的子集合,他包含了所有 r 中的第二分量。

Def.

imager={dcCs.t.(c,d)r}

現在我們把所有需要的東西都定義好了,那函數(function) 的定義就會是一個對映規則,以及一個 set B 包含了 imager,稱為函數的 對應域(codomain) ,而函數的 domain A 也就是 domainr,函數的值域就是 imager ,我們會以下列表示法表示:

f:AB

這表示他是一個從 A map 到 B 的函數。有時候我們會想像成在空間上的轉換,將 A 上的點對映到 B 上的點。我們會以 f(a) 來代表 fa 點的值(value)

我們可以在函數上定義限制(restriction)

Def.

A0istherestrictionoff

f:AB,A0As.t.f={(a,f(a))aA0}

我們可以藉由限制(restriction)來限制我們的函數形式。我們還有另外一個方法,合成函數(function composition)

Def.

gfisthecompositeoffunctionfandg

f:AB,g:BC,gf:AC,(gf)(a)=g(f(a))

gf={(a,c)bB,f(a)=b,g(b)=c}

Function composition

from Wikipedia

接著我們來討論一些不同的函數。

如果一個函數 f:AB單射的(injective),或是一對一(one-to-one),那也就是說在 A 中,不同的點會對映到不同的 像(image) 的。

Injection

from Wikipedia

如果一個函數 f:AB滿射的(surjective),或是映成(onto),那也就是說每個在 B 中的元素都有被對映到。

Surjection

from Wikipedia

如果一個函數 f:AB雙射的(bijective),那也就是說這個函數同時滿足 單射的(injective) 以及 滿射的(surjective)

Bijection

from Wikipedia

兩個 injective function 的 composite 是個 injective function。兩個 surjective function 的 composite 是個 surjective function。兩個 bijective function 的 composite 是個 bijective function。

那如果 function f 是 bijective,那麼他的 反函數(inverse) 存在,也就是:
f:AB,fisbijective,f1

s.t.f1(b)=a,aA,bB

反函數有一個特性就是, f 的反函數為 f1,而 f1 本身也是雙射的,所以他的反函數也存在,他的反函數則是 f

那如果要證明一個函數是 bijective 的話,那以下Lemma 會有幫助:

Lemma

f:AB,g:BA,h:BA

s.t.aA,g(f(a))=a,bB,f(h(b))=b,

theng=h=f1isbijective.

接下來,我們來討論一下 像(image)

Def.

f:AB,A0A,theimageofA0offis

f(A0)={bb=f(a)foratleastoneaA0}

另一方面,我們可以討論像的 原像(preimage)

Def.

f:AB,B0B,f1(B0)={af(a)B0}

f1(B0)isthepreimageofB0underf.

如果 f:AB 是 bijective, B0B,我們對 f1(B0) 有兩種解釋,他可以是 preimage of B0 under f ,或者是 image of B0 under f1:BA

在使用 ff1 上需要小心。如果是 f1 應用在 B 的子集合上,他有很好的行為,他保留了包含、聯集、交集、差集的特性。我們應該要常用他。如果是 f 應用在 A 的子集合上,他只保留了包含及聯集的特性。

另一個需要小心的,以下兩個並不是總是為真:

f1(f(A0))=A0

f(f1(B0))=B0

結論是這樣的,如果 f:AB,A0A,B0B,則以下成立:

A0f1(f(A0))

f(f1(B0))B0

第一條式子的等號成立的條件為 f 是 injective,第二條式子的等號成立的條件為 f 是 surjective。