Set theory (集合論)
先以集合論開始切入，集合論是以後各門數學相關學科的根基，也就是很多數學的分支都會定義在集合論上。
在數學上，集合就是一群不重複的物件（object）或是元素（element）。像我們可以定義一個set A當中的elements有a、b、c，寫成：
$$
A = \{ a, b, c \}
$$
但有時候我們想表達一個set，可是卻無法將裡面的elements一一列出，像是我們定義一個只有偶數的set B，我們會寫成以下的方式：
$$
B = \{x \mid x \enspace is \enspace even \enspace integer.\}
$$
裡頭的$x$代表著一個變數，後面會描述這變數的特質，所以在這邊的描述是$x$是一個偶數，那如果我們收集這樣的變數成為一個集合，我們就有了所有偶數的集合了。
我們在描述element及set的關係的時候會使用屬於，一個element a屬於set A，則會表示成：
Def.
$$
a \in A
$$
相對，不屬於則會寫成以下的形式：
Def.
$$
d \notin A
$$
等於的符號是會視為邏輯上的相等（logical identity），如果我們說$a = b$，那麼$a$跟$b$就是兩個完全一樣的東西。如果是不一樣的東西，則寫成$a \neq b$。
同樣的，集合也可以同等起來，如果我們說$A = B$，就表示$A$跟$B$這兩個集合內的東西完全相同。如果有一個element不同，則$A \neq B$。
如果$A$有的elements，在$B$中也有，那我們會說A是B的子集合（subset）：
Def.
$$
A \subseteq B
$$
從定義當中我們無法區分出$A$跟$B$是否相同。那前面講到的$A = B$也就等同於是$A \subseteq B$及$B \subseteq A$兩者都要成立。
那如果$A \subseteq B$且$A \neq B$，那我們稱A為B的嚴格子集（proper subset）：
Def.
$$
A \subset B
$$
$\subseteq$及$\subset$關係則分別稱為包含（inclusion） 及 嚴格包含（proper inclusion）。
如果我們有兩個集合$A$跟$B$，如果有一個集合包含了所有$A$和$B$的元素，那我們稱它為$A$和$B$的聯集（union）：
Def.
$$
A \cup B = \{x \mid x \in A \enspace or \enspace x \in B\}
$$
from Wikipedia
如果我們有兩個集合$A$跟$B$，如果有一個集合只包含$A$和$B$的共同元素，那我們稱它為$A$和$B$的交集（intersection）：
Def.
$$
A \cap B = \{x \mid x \in A \enspace and \enspace x \in B\}
$$
from Wikipedia
如果一個集合裏面沒有任何元素，那我們定義這樣的集合為空集合（empty set），$\emptyset$。
若是兩個集合沒有共同的元素，我們會說這兩個集合是互斥的（disjoint）：
Def.
$$
A \cap B = \emptyset
$$
from Wikipedia
由於空集合這個概念非常簡單，就是集合內沒有任何元素，我們可以把他跟之前介紹過的概念結合起來。像是，如果我們讓 $x$ 是某個元素，
$$
x \in \emptyset
$$
是不會成立的。對於任何一個set $A$，我們有
$$
A \cap \emptyset = \emptyset
$$
和
$$
A \cup \emptyset = A
$$
。
包含的關係就有點微妙，像是 $\emptyset \subseteq A$ ，我們會考慮很多的實例，要讓每一個實例都成立，這個式子才算是成立。不過討論這件事本身就蠻無趣的，他基本上是成立的。
在這邊我們可以再定義新的運算，那就是差集（difference），他的定義如下：
Def.
$$
A - B = \{x \mid x \in A \enspace and \enspace x \notin B\}
$$
from Wikipedia
Rules
在集合論中，有些跟我們一般的算術運算很像的性質，像是以下的分配律（distributive law）：
$$
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
$$
$$
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
$$
以及狄莫根定律（DeMorgan 's laws）：
$$
A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C)
$$
$$
A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)
$$
我們在緊接著介紹一個有趣的概念，冪集（power set），$A$的冪集（$\mathcal{P}(A)$）是指所有$A$的子集的所有排列組合所成的集合，像是假設$A = \{1, 2, 3\}$，那麼$\mathcal{P}(A) = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\} \}$。
往後，當我們在描述一個 set，他的 element 也是 set 的時候，我們會稱他為 collection of sets，並且會以書寫體$\mathcal{A}$、$\mathcal{B}$表示，以示區別。
我們已經定義了任兩個集合的交集跟聯集。那如果我們想要聯集或是交集任意多數量的集合，$\mathcal{A}$為一 collection of sets，我們可以用以下表示法：
$$
\bigcup_{A \in \mathcal{A}} A = \{ x \mid x \in A, for \enspace at \enspace least \enspace one \enspace A \in \mathcal{A} \}
$$
直白的說，就是這個聯集會將在$\mathcal{A}$中，至少出現過一次的$A$，將$A$中的元素$x$都蒐集起來。
$$
\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A = \{ x \mid x \in A, for \enspace every \enspace A \in \mathcal{A} \}
$$
這個交集則是會將在$\mathcal{A}$中，每個$A$，將$A$中都出現的元素$x$蒐集起來。
這些定義都沒什麼大問題。不過當$\mathcal{A}$是個空的 collection 的時候就會顯的比較特別，根據字面定義，這個情況下沒有任何人可以符合這樣的定義，所以我們可以說：
$$
\bigcup_{A \in \mathcal{A}} A = \emptyset
$$
接下來我們來定義一個重要的東西，笛卡爾積（Cartesian product），數學上常常會用這樣的概念來為其他概念下定義，例如空間上的座標位置。
Def.
$$
A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \enspace and \enspace b \in B\}
$$
像是當 $A = \{ a, b, c\}$， $B = \{1, 2\}$，那麼 $A \times B = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$ 。
這在概念上非常直覺，可以把他想成是在 set $A$ 中的元素跟在 set $B$ 中的元素，拿出來一一做排列組合，所有的排列組合所成的集合就是 $A \times B$。